جنرال لواء

فرضية ريمان: مشكلة رياضيات عمرها 160 عامًا ومليون دولار


تعتبر فرضية ريمان واحدة من أهم التطورات الرياضية في التاريخ. ابتكرها جورج فريدريش برنارد ريمان في1859 لا يزال يتعين منافستها في تأثيرها أو حلها تقريبًا 160 سنة.

هذا هو ، حتى الآن - إذا كان الادعاء الحالي لإثباتها صحيحًا.

ولكن ما هو؟ لماذا هو مهم؟ دعنا نلقي نظرة سريعة على حجر الأساس لنظرية الأعداد الأولية الحديثة.

ما هي فرضية ريمان؟

كانت فرضية ريمان قطعة رائدة من التخمين الرياضي نُشرت في مقالة شهيرةUeber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse ("على الأعداد الأولية أقل من حجم معين") في 1859 بواسطة برنارد ريمان.

تتمحور حول واحدة من أروع ظواهر الرياضيات - الأعداد الأولية. كان علماء الرياضيات في سعي للتنبؤ بها منذ بدايات هذا التخصص.

عمالقة الرياضيات مثل إقليدس ، وصيغة منتج أويلر (ربط الأعداد الأولية بوظيفة زيتا) ، وغاوس (كان ريمان طالبًا في Gauss) ، و Legendre (صياغة نظرية الأعداد الأولية) إلى Hadamard و de la Vallée Poussin ، كل ذلك جعلها ضخمة مساهمات في الميدان على مر القرون.

تميل الأعداد الأولية إلى عدم اتباع أي نمط يمكن تمييزه. من خلال العثور على واحد لا يمكنك التنبؤ بالرقم التالي دون دراسة الأرقام الأخرى وأنت تمضي قدمًا - بعيدًا عن عملية فعالة.

افترض البعض أنه بدلاً من التطلع إلى الأمام ، قد يكون من المفيد النظر إلى الوراء بدلاً من ذلك. هل يمكن أن نفهم التباعد بين الأعداد الأولية من خلال رؤية كم أقل من العدد الحالي؟

هذا بالضبط ما حاول ريمان تحقيقه. ستؤدي هذه الرؤية إلى قيام ريمان بإحدى أكبر القفزات في فهمنا لنظرية الأعداد الأولية منذ العصور القديمة. ليس هذا فقط ولكن تقريبًا 160 سنة إنه عمل فذ لم تتم مطابقته أو تجاوزه.

تتمحور فرضية ريمان حول معادلة دالة زيتا

كما يوضح معهد كلاي للرياضيات:

"لاحظ [ريمان] أن تكرار الأعداد الأولية يرتبط ارتباطًا وثيقًا بسلوك وظيفة معقدة: -

ζ (ق) = 1 + 1/2س + 1/3س + 1/4س + ...

[هذا] يسمىوظيفة ريمان زيتا. تؤكد فرضية ريمان أن كل شيءمثير للإعجاب حلول المعادلة: -

ζ (ق) = 0

تقع على خط مستقيم رأسي معين. "

بعبارات مبسطة للغاية ، يتعلق الأمر بتوزيع الأعداد الأولية ، لكن هذا لا يبدأ في تفسير ذلك حقًا. هناك تفسير أكثر تعمقًا (مطلوبًا) لهذا الأمر خارج نطاق هذه المقالة ، لكن يورغن فيسدال (زميل دكتوراه في الجامعة النرويجية للعلوم والتكنولوجيا) قدم نظرة عامة مفيدة للغاية.

يشكل عمله الآن المحور الرئيسي لنظرية الأعداد الأولية وكان السبب الرئيسي لإثبات نظرية الأعداد الأولية في 1896. منذ ذلك الحين تم العثور على العديد من البراهين الجديدة ، بما في ذلك البراهين الأولية من قبل Selberg و Erdós. ومع ذلك ، فإن فرضية ريمان حول جذور وظيفة زيتا لا تزال غامضة.

على الرغم من كونها معقدة بطبيعتها ، إلا أن ما تحاول حله بسيط للغاية. بدلاً من محاولة تحديد مكان وجود الأعداد الأولية ، حاول ريمان التحقق من طبيعتها.

لم يكن أول من اتبع هذا النهج ، في الواقع ، كان "موضة" أقرانه خلال القرن التاسع عشر ، لكنه كان سيصبح سيدًا فيها.

لماذا تعتبر فرضية ريمان مهمة؟

باختصار ، إنها نوع من "الكأس المقدسة" في الرياضيات. قال ماركوس دو سوتوي من جامعة أكسفورد: "معظم علماء الرياضيات يتاجرون بأرواحهم مع ميفيستوفيليس للحصول على دليل".

حتى الآن ، لدى علماء الرياضيات فكرة جيدة ، تقريبية ، لكثافة الأعداد الأولية ولكن ليس اليقين المطلق. هذه التقريبات ليست سوى ذلك ولا توجد دالة (معروفة حتى الآن) تسمح لها بحساب عدد الأعداد الأولية الأقل من عدد صحيح معين بكفاءة وبشكل مثالي (والتي تميل إلى أن تكون أعدادًا بملايين الأصفار).

بالنظر إلى أن علماء الرياضيات غير قادرين على تحديد القيم الدقيقة ، فإنهم يريدون معرفة مدى جودة تقديراتهم التقريبية. هذه هي المشكلة التي كان ريمان يحاول معالجتها1859 ورقة.

إذا كانت فرضيته صحيحة ، فسيضمن ذلك ارتباطًا أكبر بكثير للفرق بين التقديرات الحالية والقيمة "الحقيقية". بعبارة أخرى ، سيخبرنا ما إذا كانت الأعداد الأولية فوضوية كما تبدو اليوم.

على الرغم من أن فرضيته تعالج مئات المفاهيم الأخرى ، إلا أن جوهرها يهتم بتوزيع الأعداد الأولية.

بالنسبة للبعض ، قد يبدو هذا "الكثير من الجلبة بشأن لا شيء" ولكن عندما تدرك أن العديد من المنظمات الكبيرة ، مثل وكالة الأمن القومي ، تقوم بتجنيد العديد من أصحاب النظريات العددية لإجراء بحث في هذا المجال ، هناك شيء مهم بالتأكيد بشأنه.

كانت نظرية الأعداد الأولية نظرية بحتة في يوم من الأيام ولكنها بدأت في العثور على تطبيقات حقيقية في عالمنا الرقمي الحديث. الهواتف المحمولة ، على سبيل المثال ، لن تكون قادرة على العمل دون انتشار اتصالات الطيف و "متواليات المخلفات التربيعية".

كلاهما يعتمد بشكل كبير على بعض خصائص الأعداد الأولية للسماح لإشارات متعددة بالعمل على نفس نطاق التردد.

ولكن الأهم من ذلك ، أن عامل الرقم الأولي هو ممارسة شائعة الاستخدام في تقنيات التشفير مثل أنظمة تشفير المفتاح العام. تميل هذه إلى استخدام أنصاف أعداد أولية كبيرة (ضرب عددين أوليين) لتأمين التشفير.

لكسرها ، يجب أن تجد التحليل الأولي لعدد شبه أولي كبير - أي أن عددين أو أكثر من الأعداد الأولية التي يتم ضربها معًا ينتج عنها العدد الأصلي.

عندما تستخدم هذه التقنية أعدادًا أولية صغيرة ، يكون من السهل نسبيًا كسرها ، لكن استخدام أعداد أكبر قد يستغرق أيامًا أو شهورًا أو سنوات لحلها. بالنظر إلى التوزيع غير الخطي للأعداد الأولية ، فإن العملية هي عملية التجربة والخطأ - ستحتاج إلى تجربة كل المجموعات الممكنة.

باختصار ، سيكون لحلها ، من بين أمور أخرى ، تداعيات هائلة على الأمن السيبراني.

فرضية ريمان هي إحدى مشاكل جائزة الألفية

هناك بعض المشاكل التي ظلت بعناد فوق قدرات أذهاننا العظيمة. بعض هذه ، على الأقل في مجال الرياضيات ، تسمى مشاكل جائزة الألفية.

تتكون هذه من سبع (ستة الآن) أو ما يقرب من المسائل الرياضية التي حددها معهد كلاي للرياضيات في مطلع الألفية الجديدة.

حتى الآن ، هم يتألفون مما يلي: -

1. يانج ميلز آند ماس جاب - وفقًا للحلول الكمية لمعادلات Yang-Mills يبدو أن هناك "فجوة جماعية".

2. فرضية ريمان

3. P مقابل NP مشكلة - يتجسد هذا في مشكلة طريق هاميلتون. "بالنظر إلى N من المدن التي يجب زيارتها ، كيف يمكن للمرء القيام بذلك دون زيارة مدينة مرتين؟ إذا أعطيتني حلاً ، يمكنني بسهولة التحقق من صحته. ولكن لا يمكنني العثور على حل بهذه السهولة."

4. نافير-ستوكس معادلة - المعادلة التي تحكم تدفق السوائل. "ومع ذلك ، لا يوجد دليل على أبسط الأسئلة التي يمكن للمرء أن يطرحها: هل الحلول موجودة ، وهل هي فريدة من نوعها؟" تم الادعاء ، على الرغم من عدم الاعتراف به رسميًا من قبل معهد كلاي الرياضي ، أن مختارباي أوتيلباييف تم حلها.

5. تخمين هودج- "تحدد الإجابة على هذا التخمين مقدار طوبولوجيا مجموعة الحلول لنظام المعادلات الجبرية التي يمكن تعريفها من حيث المعادلات الجبرية الإضافية." تسأل هذه المشكلة عما إذا كان يمكن بناء أشكال رياضية معقدة من أشكال بسيطة.

6. حدسية بوانكاريه- طلب عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه ، في 1904، إذا تم وصف الكرة ثلاثية الأبعاد بأنها "المشعب الثلاثي الفريد المتصل ببساطة." إنها حالة خاصة من تخمين ثورستون الهندسي.

7. تخمين بيرش وسوينرتون-داير - "مدعومًا بالكثير من الأدلة التجريبية ، يربط هذا التخمين عدد النقاط على منحنى بيضاوي الشكل mod p إلى رتبة مجموعة النقطة المنطقية". هذه أيضًا واحدة من أصعب المشكلات الرياضية التي لا يزال يتعين حلها.

كم عدد مشاكل الألفية التي تم حلها؟

كل هذه المشاكل لها تأثير مروع 1 مليون دولار جائزة نقدية ولكن الجائزة الحقيقية هي الشهرة والاحترام الدائمان من الزملاء ليصاحبوا حلها.

حتى الآن ، تم حل واحد فقط من السبعة الأصلية. رسميا فقطحدسية بوانكاريه قد تم حلها. تم حل هذا من قبل عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان في 2003.

بنى بيرلمان مسارًا وظيفيًا من خلال حل المشكلات الرياضية وقدم مساهمات كبيرة في الهندسة الريمانية والطوبولوجيا الهندسية. في 2006 تم تكريمه في طبعة 22 ديسمبر من مجلة Nature لحله لتخمين بوانكاريه الذي جعله "الاختراق العلمي للعام".

عندما تم الإعلان رسميًا عن استيفائه لمعايير جائزة Clay Millenium في 2010 رفض أموال الجائزة مشيرًا إلى أن مساهماته لم تكن أكبر من مساهمات ريتشارد إس هاميلتون.

لكن قد تكون فرضية ريمان هي الفرضية التالية التي ستسقط إذا تبين أن الأخبار الأخيرة صحيحة. يبدو أن أ 90 عاما عالم رياضيات متقاعد قد يكون لديه حل أصاب أقرانه تقريبًا 160 سنة.

بالطبع ، يجب التحقق من ادعائه من قبل معهد كلاي الرياضي أولاً ، ولكن قد يعني ذلك أن فرضية ريمان قد تم حلها أخيرًا.

لكنه ليس أول من ادعى أنه حل فرضية رايمان. في 2004, ادعى لويس دي برانجز ، عالم الرياضيات الفرنسي المولد ، والذي يعمل حاليًا في جامعة بيرديو بالولايات المتحدة ، دليلًا على فرضية ريمان.

ومع ذلك ، تم رفض حل برانجز لاحقًا من قبل أقرانه.


شاهد الفيديو: حدسية بوانكاري في المؤتمر الدولي للرياضيات عام 2006 بمدريد (شهر اكتوبر 2021).